Spazio dedicato soltanto all'argomento 11 di fisica!
Agli studenti delle classi B, D e a coloro delle classi A e C che potrebbero essere interessati.
Buon giorno!
Come promesso, scrivo di seguito le soluzioni degli esercizi 11.3 e 11.4 delle slide, così che possiate poi fare in tranquillità i quiz di riepilogo. In fondo rispondo anche a due domande che mi sono state rivolte in classe e a cui non ho avuto tempo di rispondere.
Esercizio 11.3
Il quiz chiede di calcolare il rendimento di una macchina termica che ha un ciclo reversibile, che assorbe $450\ kcal$ e ne cede $150\ kcal$.
Il quiz non specifica se la macchina è una macchina di Carnot oppure no, ma non è un problema, perché ciò che fornisce sono i calori, che vengono usati nella definizione generale di rendimento:
$$\eta = 1 - \frac{\vert \Delta Q_{ced} \vert}{\vert \Delta Q_{ass} \vert} = 1 - \frac{\left( 150 \cdot 4,186 \cdot 10^{3} \right) \ J}{\left( 450 \cdot 4,186 \cdot 10^{3} \right) \ J} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$
La risposta corretta è quindi la B.
Esercizio 11.4
Il quiz chiede di calcolare il calore assorbito da una macchina frigorifera che deve trasferire calore da una sorgente a $273\ K$ a una a $298\ K$ compiendo un lavoro di $1\ kWh$.
Poiché il quiz richiede il risultato in $kWh$ e poiché la conversione è un fattore che andrebbe comunque semplificato, faremo i conti in $kWh$. Supponiamo inoltre una macchina termica ideale, per semplicità.
Possiamo calcolare il COP:
$$COP = \frac{Q_{ass}}{\vert L \vert} = \frac{T_{f}}{T_{c} - T_{f}} \qquad \rightarrow \qquad Q_{ass} = \frac{\vert L \vert T_{f}}{T_{c} - T_{f}}$$
Per definizione di lavoro, abbiamo, inoltre:
$$L = Q_{ass} - \vert Q_{ced} \vert \qquad \rightarrow \qquad \vert Q_{ced} \vert = Q_{ass} - L$$
Siccome il lavoro viene compiuto sulla macchina termica, esso è negativo. Possiamo allora riscrivere la formula esplicitando il segno negativo del lavoro:
$$\vert Q_{ced} \vert = Q_{ass} - \left( - \vert L \vert \right) = Q_{ass} + \vert L \vert $$
A questo punto possiamo sostituire nell'ultima formula il calore assorbito come calcolato nella prima:
$$\vert Q_{ced} \vert = Q_{ass} + \vert L \vert = \frac{\vert L \vert T_{f}}{T_{c} - T_{f}} + \vert L \vert = \vert L \vert \left( 1 + \frac{T_{f}}{T_{c} - T_{f}} \right)$$
Sostituendo i numeri, si ottiene:
$$\vert Q_{ced} \vert = \vert L \vert \left( 1 + \frac{T_{f}}{T_{c} - T_{f}} \right) = 1\ kWh \left[ 1 + \frac{273 \ K}{\left( 298 - 273 \right) \ K} \right] = 1 + \frac{273}{25} \simeq 1 + \frac{275}{25} = 1 + 11 = 12\ kWh$$
Abbiamo arrotondato per eccesso a numeratore, quindi è normale che il risultato sia leggermente più grande della risposta corretta (ma non troppo). La risposta corretta è la E, $11,9\ kWh$.
Domande in classe
In classe mi sono state rivolte alcune domande, a cui non ho risposto per mancanza di tempo e a cui rispondo di seguito.
Nella slide 9 della lezione 11 vengono citate le espressioni finali di calore e lavoro per le trasformazioni isoterme, isobare e isocore. Riporto di seguito la derivazione delle formule di cui mi è stata chiesta un'ulteriore spiegazione.
Partiamo dalla trasformazione isoterma: $\Delta T = 0$.
Il lavoro si calcola a partire dall'integrale:
$$L = \int_{V_i} \ ^{V_f} p dV$$
La pressione può essere scritta in termini dell'equazione di stato dei gas perfetti:
$$L = \int_{V_i} \ ^{V_f} p dV = \int_{V_i} \ ^{V_f} \frac{nRT}{V} dV = nRT \ln{\left( V \right)} \vert_{V_i} \ ^{V_f} = nRT \left[ \ln{ \left( V_{f} \right)} - \ln{ \left( V_{i} \right)}\right] = nRT \ln{\left( \frac{V_f}{V_i} \right)}$$
Consideriamo ora la trasformazione isobara: $\Delta p = 0$.
Il calore assorbito nella trasformazione può essere calcolato a partire dal primo principio della termodinamica e dalla definizione dell'energia interna $\Delta U$ come funzione di stato della temperatura. Abbiamo allora:
$$Q = \Delta U + L = n c_{v} \Delta T + p \Delta V$$
Possiamo riscrivere il lavoro in termini dell'equazione dei gas perfetti:
$$p \Delta V = n R \Delta T$$
e sostituendo:
$$Q = \Delta U + L = n c_{v} \Delta T + n R \Delta T$$
A questo punto, possiamo sfruttare la definizione di calore specifico molare a volume costante e la relazione che lo lega a $R$ e $c_p$:
$$c_{v} = \frac{3}{2} R \qquad \qquad \qquad c_{p} = \frac{5}{2} R$$
$$R = c_{p} - c_{v} $$
$$Q = n c_{v} \Delta T + n R \Delta T = n \Delta T \left( \frac{3}{2}R + R \right) = n \Delta T \frac{5}{2}R = n \Delta T c_{p}$$
Spero vi sia tutto chiaro, in caso contrario non esitate a chiedere spiegazioni.
Buona settimana e buon lavoro!
Buongiorno, potrebbe rispiegarmi che cosa si intende quando si parla macchina termica reversibile?
Buon giorno @ u036 ,
Una macchina termica reversibile è una macchina le cui trasformazioni termodinamiche sono tutte reversibili. Come conseguenza di ciò, il ciclo della macchina termica reversibile può anche essere percorso al contrario. Inoltre il rendimento di una macchina termica reversibile è il massimo possibile.
Un esempio di macchina termica reversibile è la macchina di Carnot. Mediamente nei quiz quando si fa riferimento ad una macchina termica reversibile, ci si riferisce alla macchina di Carnot. Esiste qualche caso di macchina termica reversibile che non ha il ciclo di Carnot. In questo caso (macchine termiche reversibili) il rendimento si può calcolare sia con la formula generale, sia con quella di Carnot.
Una trasformazione termodinamica reversibile è una trasformazione che può anche essere compiuta nel verso opposto, perché gli stati intermedi sono tutti stati di equilibrio. Esistono anche trasformazioni termodinamiche irreversibili, le quali non attraversano stati intermedi di equilibrio e quindi non possono essere compiute al contrario.
Spero sia chiaro, in caso contrario non esitare a chiedere ulteriori spiegazioni.
Buona serata!