Spazio dedicato soltanto all'argomento 15 di matematica!
ESERCIZI lezione 15
Lo svolgimento di questi esercizi è consigliato a tutti. Per qualunque dubbio non esitate a contattarci.
Buonasera, volevo ascoltare l'ultima lezione di matematica del professore della classe B ma purtroppo è senza audio.
Grazie mille
Buonasera, può spiegarmi l’esercizio 2 degli esercizi aggiuntivi che ha allegato? Grazie mille
@ u036 buongiorno,
a partire dal testo possiamo ottenere alcune informazioni sulla piramide. Come prima cosa, ricordando che in un triangolo equilatero l'altezza è $h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$, possiamo calcolare l'area di base S con la formula $S=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}l\cdot l=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$. A questo punto, conoscendo il volume della piramide è possibile ricavare lo spigolo AV.
$V=\frac{1}{3}AV\cdot S \Rightarrow AV=\frac{3\cdot 3l^3/4}{\frac{\sqrt{3}}{4}l^2}=3\sqrt{3}l$
Fatto ciò possiamo calcolare lo spigolo CV (che sarà uguale allo spigolo BV) con il teorema di Pitagora utilizzando AV e AC=l come cateti.
$CV=\sqrt{(3\sqrt{3}l)^2+l^2}=\sqrt{28}l=2\sqrt{7}l$
La risposta corretta è quindi la D.
In questo caso la piramide non è semplice da "immaginare" quindi un disegno, anche schematico, potrebbe essere molto utile.
Fammi sapere se è chiaro.
ESERCIZI lezione 15
Lo svolgimento di questi esercizi è consigliato a tutti. Per qualunque dubbio non esitate a contattarci.
Soluzioni:
- A
- D
- C
- C
Buonasera, volevo ascoltare l'ultima lezione di matematica del professore della classe B ma purtroppo è senza audio.
Grazie mille
Buongiorno, grazie della segnalazione. In effetti sembra che qualcosa sia andato storto, stiamo cercando di risolvere il problema.
Comunque è disponibile sulla piattaforma la registrazione della lezione della classe C, in cui sono trattati esattamente gli stessi argomenti, quindi è possibile ascoltare quella.
Buongiorno, mi può spiegare come arrivare alla risoluzione dell'esercizio 12 della terza simulazione con commento automatico?
L'esercizio richiedeva di trovare Un numero intero tale che la differenza tra il suo quadrato e i 3/2 del numero stesso sia uguale a 52.
Grazie mille e buona giornata
@ u055 buonasera,
questo esercizio, come tanti altri che abbiamo visto in questi giorni, si risolve "trasformando" il testo del problema in un'equazione da risolvere. Se chiamiamo $x$ il numero che cerchiamo, vogliamo che la differenza tra il suo quadrato ($x^2$) e $\frac{3}{2}x$ sia 52. L'equazione di cui cerchiamo una soluzione intera quindi è:
$x^2-\frac{3}{2}x=52$,
che può essere risolta con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
$x^2-\frac{3}{2}-52=0 \; \Rightarrow \; x=\frac{3/2 \pm \sqrt{9/4+208}}{2} \; \Rightarrow \; x=\frac{3/2 \pm \sqrt{841/4}}{2} \; \Rightarrow \; x=\frac{3/2 \pm 29/2}{2} \; \Rightarrow \; x=\frac{-13}{2}, \, x=8$
La risposta corretta è dunque "$8$" in quanto è l'unico numero intero che risolve l'equazione.
In alternativa, una volta scritta l'equazione $x^2-\frac{3}{2}x=52$ si può anche trovare la soluzione provando a sostituire le risposte (intere) proposte.
Buongiorno potrebbe spiegarmi il secondo esercizio della prova Q1M15(chiede di calcolare l'apotema della piramide)? Grazie
@ u034 buonasera,
Per calcolare l'apotema della piramide (che può essere immaginato come l'altezza dei triangoli che costituiscono le facce della piramide che concorrono nel vertice "alto") possiamo applicare il teorema di Pitagora. L'apotema della piramide infatti rappresenta l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ha come cateti l'altezza della piramide e la distanza del baricentro della base dal punto medio di uno dei suoi lati. Ora, come abbiamo visto a lezione, il baricentro si trova ad 1/3 di ogni mediana, quindi la distanza tra il baricentro ed un lato è 1/3 della lunghezza della mediana che lo raggiunge. In un triangolo equilatero tutte le mediane sono uguali e sono anche uguali alle altezze. Risulta quindi possibile calcolare la distanza dal baricentro del punto medio di uno dei lati della base notando che essa è 1/3 dell'altezza del triangolo equilatero di base.
Mettendo tutto insieme troviamo quanto segue.
$a=\sqrt{(AltezzaPiramide)^2+(AltezzaBase/3)^2}=\sqrt{l^2+(\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}l)^2}=\sqrt{\frac{13}{12}l^2}$
Mi rendo conto che è una spiegazione difficile senza la possibilità di fare un disegno, quindi se non è chiaro non esitare a segnalarlo!
Buon lavoro
Buonasera, potrebbe spiegarmi come arrivare alla risoluzione dei seguenti quesiti:
Si considerino i numeri P=2^300 Q= 4^200 R= 8^100. Quale delle seguenti relazioni è vera?
Q≤R≤P
P≤Q≤R
P≤R≤Q
Q≤P≤R
R≤Q≤P
Un dado truccato a sei facce, con i numeri da 1 a 6, presenta con probabilità 1/3 la faccia con il 6 e le altre facce tutte con la stessa probabilità. Lanciando questo dado, qual è la probabilità che esca un numero pari?
3/5
1/2
5/6
2/3
4/15
Se log(x)=1,25 e log(y)=2,5 (la base del logaritmo è 10), qual è il valore del rapporto y/x?
log(1,25)
10^2
1,25
10^1,25
2
Grazie mille e buona serata!!
Buonasera, potrebbe spiegarmi come arrivare alla risoluzione dei seguenti quesiti:
Si considerino i numeri P=2^300 Q= 4^200 R= 8^100. Quale delle seguenti relazioni è vera?
Q≤R≤P
P≤Q≤R
P≤R≤Q
Q≤P≤R
R≤Q≤P
Un dado truccato a sei facce, con i numeri da 1 a 6, presenta con probabilità 1/3 la faccia con il 6 e le altre facce tutte con la stessa probabilità. Lanciando questo dado, qual è la probabilità che esca un numero pari?
3/5
1/2
5/6
2/3
4/15
Se log(x)=1,25 e log(y)=2,5 (la base del logaritmo è 10), qual è il valore del rapporto y/x?
log(1,25)
10^2
1,25
10^1,25
2
Grazie mille e buona serata!!
Buongiorno,
rispondo punto per punto.
1)Possiamo sfruttare le proprietà delle potenze per riscrivere P,Q e R. $P=2^{300}$, $Q=4^{200}=2^{2*200}=2^{400}$, $R=8^{100}=2^{3*100}=2^{300}$. Confrontando i risultati ottenuti vediamo che: $P=R<Q$. La risposta corretta è quindi la C.
2)Puoi trovare la soluzione di questo quesito nell'argomento M00 (risposta dell'11 aprile).
3)Per risolvere questo terzo quesito utilizziamo le proprietà dei logaritmi. $\log x =1.25$, $\log y=2.5$, $\Rightarrow \log y -\log x =\log \frac{y}{x}=2.5-1.25=1.25$ $\Rightarrow \frac{y}{x}=10^{1.25}$
Fammi sapere se è chiaro, buon lavoro!
Buon pomeriggio, potrei chiederle la risoluzione anche del seguente quesito?
Alessandra e Marcella giocano con una moneta e un dado a sei facce. Alessandra vince se escono testa e un numero pari. Marcella vince se esce croce o il numero 3 (o entrambi). Negli altri caso pareggiano. Qual è la probabilità che pareggino?
1/12
1/6
1/3
1/4
5/6
Grazie mille e buona giornata
@ u055 buongiorno,
Come prima cosa notiamo che in questo caso il pareggio si verifica quando nessuna delle due ragazze vince, per cui l’evento “pareggio” è l’evento inverso dell’evento “vittoria di una delle due”. Possiamo quindi chiederci: in quali casi nessuna delle due ragazze vince? Guardando le condizioni di vittoria di entrambe notiamo che affinché ci sia un pareggio è necessario che esca Testa sulla moneta e 1 o 5 sul dado.
la probabilità che pareggino è quindi: $P(pareggio)=P(testa)(P(1)+P(5))=\frac{1}{2}\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$
In alternativa, dato che la probabilità totale è sempre pari a 1, si può anche calcolare la probabilità che pareggino come: P(pareggio)=1-P(vittoria Alessandra)-P(vittoria Marcella).
Buongiorno, volevo chiedere la correzione del quesito 9 della simulazione 9 con commento automatico
@ u038 buongiorno,
scrivo di seguito il quesito e la soluzione.
Durante una gara, alla fine di ogni round, al partecipante che ha fatto la prestazione migliore vengono assegnati 6 punti, al secondo 3 e al terzo 1.
Ci sono quattro partecipanti, quindi l’ultimo non prende punti.
Dopo 10 round i punti vengono sommati.
Alla fine del nono round Jill sapeva che, a prescindere dal risultato dell’ultimo round, non ci sarebbe stato nessun pareggio e lei sarebbe arrivata terza.
Sapeva anche che chi tra Karen e Gemma avesse vinto, sarebbe stata la vincitrice finale.
Qual è il punteggio minore che l’ultimo arrivato può aver ottenuto alla fine del decimo round?
A. 23
B. 13
C. 19
D. 21
E. 15
Possiamo rispondere analizzando le risposte proposte una ad una, procedendo cioè per esclusione.
Le informazioni presenti nel testo ci permettono di stabilire indicativamente come deve essere composta la classifica alla fine del nono round. Se ogni volta il vincitore ottiene $6$ punti, il secondo ottiene $3$ punti e il terzo ottiene $1$ punto, in totale ad ogni round vengono assegnati $6+3+1=10$ punti, per cui dopo 9 round la somma dei punti dei 4 partecipanti deve essere $9\times 10=90$. Inoltre, dato che Jill era sicura di arrivare terza e sapeva che non ci sarebbero stati pareggi, il quarto classificato doveva avere almeno $7$ punti in meno di lei, mentre il secondo doveva averne almeno $7$ in più. In aggiunta a ciò, a causa del fatto che Jill sapeva che chi tra Karen e Gemma avesse vinto sarebbe stata la vincitrice finale (unito al fatto che sapeva che non ci sarebbero stati pareggi), le prime due classificate dopo il nono round (ossia Karen e Gemma) dovevano avere lo stesso punteggio.
A partire dalle soluzioni proposte, possiamo dunque vedere quali sono realizzabili con un totale di $90$ punti a disposizione.
Consideriamo ad esempio la risposata E ($15$ punti): considerando le separazioni minime necessarie per far valere tutte le condizioni del testo in questo caso al minimo si potrebbe avere:
- 4a posizione: $15$ punti,
- 3a posizione: $15+7=22$ punti,
- 2a posizione: $22+7=29$ punti,
- 1a posizione: $29$ punti;
il che corrisponderebbe ad un totale di $15+22+29+29=95$ punti, che sarebbe superiore al numero di punti disponibili. La risposta E e tutte quelle maggiori (cioè la A, la C e la D) sono dunque da scartare in quanto non sono realizzabili con il numero di punti a disposizione.
La risposta corretta è quindi la B ($13$ punti): in questo caso infatti al minimo si potrebbe avere:
- 4a posizione: $13$ punti,
- 3a posizione: $13+7=20$ punti,
- 2a posizione: $20+7=27$ punti,
- 1a posizione: $27$ punti;
ottenendo un totale di $13+20+27+27=87$ punti, minore di $90$. La risposta B è quindi realizzabile con il numero totale di punti a disposizione, in particolare dopo nove round i punti potrebbero essere $13,\,21,\,28,\,28$.
Buonasera a tutti,
Vi carico qui il pdf delle slides della lezione di oggi che sono state aggiornate sulla parte delle trasformazioni geometriche.
Non esitate a scrivere qui sul forum in caso di dubbi o perplessità.
Buono studio!